当Airflow 1.10.5调度器与PostgreSQL数据库连接出现错误时，可以尝试以下解决方法：

1. 确保PostgreSQL数据库已正确安装和配置，并且可以从Airflow服务器访问。

2. 在Airflow配置文件中（airflow.cfg），确保配置了正确的数据库连接信息。例如：

   # 使用PostgreSQL作为元数据库
   sql_alchemy_conn = postgresql+psycopg2://username:password@localhost:5432/airflow
   

   其中，username和password是您的PostgreSQL数据库的登录凭据，localhost是数据库的主机地址，5432是数据库的端口号，airflow是您的数据库名称。

3. 确保安装了适用于PostgreSQL的数据库驱动程序。在Airflow 1.10.5中，默认使用的是psycopg2驱动程序。您可以通过运行以下命令来安装它：

   pip install psycopg2
   

4. 确保PostgreSQL数据库已创建，并且Airflow具有访问和修改数据库的权限。您可以使用以下命令为Airflow用户授予适当的权限：

   GRANT ALL PRIVILEGES ON DATABASE airflow TO username;
   

   其中，airflow是数据库名称，username是Airflow用户的用户名。

5. 在启动Airflow之前，确保数据库已迁移并初始化。您可以使用以下命令进行迁移和初始化：

   airflow db init
   

   这将创建Airflow所需的表和初始数据。

6. 如果上述步骤都没有解决问题，您可以尝试重新安装Airflow并重新配置数据库连接。删除旧的Airflow安装，并使用以下命令进行重新安装：

   pip uninstall apache-airflow
   pip install apache-airflow==1.10.5
   

   然后，编辑Airflow配置文件并重新配置数据库连接信息。

以上方法应该可以解决Airflow 1.10.5调度器与PostgreSQL的连接错误。如果问题仍然存在，请尝试检查错误日志以获取更多详细信息，并确保数据库配置正确。