在ADT（代数数据类型）和Aux（辅助）模式下实现类型安全的常见方法是使用类型类或GADT（广义代数数据类型）。

以下是一个使用类型类的示例：

sealed trait Shape

case class Circle(radius: Double) extends Shape
case class Rectangle(width: Double, height: Double) extends Shape

trait AreaCalculator[T] {
  def calculateArea(shape: T): Double
}

object AreaCalculator {
  implicit object CircleAreaCalculator extends AreaCalculator[Circle] {
    def calculateArea(circle: Circle): Double = math.Pi * circle.radius * circle.radius
  }

  implicit object RectangleAreaCalculator extends AreaCalculator[Rectangle] {
    def calculateArea(rectangle: Rectangle): Double = rectangle.width * rectangle.height
  }

  def calculateArea[T](shape: T)(implicit areaCalculator: AreaCalculator[T]): Double = {
    areaCalculator.calculateArea(shape)
  }
}

val circle = Circle(2.0)
val rectangle = Rectangle(2.0, 3.0)

val circleArea = AreaCalculator.calculateArea(circle)
val rectangleArea = AreaCalculator.calculateArea(rectangle)

上述示例中，我们定义了一个Shape代数数据类型，它有两个子类型Circle和Rectangle。然后，我们定义了一个AreaCalculator类型类，它定义了一个calculateArea方法，用于计算不同形状的面积。

接下来，我们为Circle和Rectangle分别实现了AreaCalculator的隐式实例。这样，我们就可以在调用calculateArea方法时根据形状的类型自动选择正确的计算方法。

最后，我们创建了一个Circle和一个Rectangle实例，并调用AreaCalculator.calculateArea方法来计算它们的面积。

这种方法的好处是，它使用了类型类和隐式实例来实现类型安全，而无需使用模式匹配或其他方式来处理不同的形状类型。

以下是一个使用GADT的示例：

sealed trait Shape[T]

case class Circle(radius: Double) extends Shape[Double]
case class Rectangle(width: Double, height: Double) extends Shape[Double]

trait AreaCalculator[T] {
  def calculateArea(shape: Shape[T]): Double
}

object AreaCalculator {
  implicit object CircleAreaCalculator extends AreaCalculator[Double] {
    def calculateArea(shape: Shape[Double]): Double = shape match {
      case Circle(radius) => math.Pi * radius * radius
    }
  }

  implicit object RectangleAreaCalculator extends AreaCalculator[Double] {
    def calculateArea(shape: Shape[Double]): Double = shape match {
      case Rectangle(width, height) => width * height
    }
  }

  def calculateArea[T](shape: Shape[T])(implicit areaCalculator: AreaCalculator[T]): Double = {
    areaCalculator.calculateArea(shape)
  }
}

val circle = Circle(2.0)
val rectangle = Rectangle(2.0, 3.0)

val circleArea = AreaCalculator.calculateArea(circle)
val rectangleArea = AreaCalculator.calculateArea(rectangle)

在这个示例中，我们使用了GADT来定义Shape类型。Shape类型接受一个类型参数T，表示形状的计算结果类型。

然后，我们定义了一个AreaCalculator类型类，它接受一个Shape[T]类型的参数，并定义了一个calculateArea方法来计算面积。

接下来，我们为Circle和Rectangle分别实现了AreaCalculator的隐式实例。这样，我们就可以在调用calculateArea方法时根据形状的类型自动选择正确的计算方法。

最后，我们创建了一个Circle和一个Rectangle实例，并调用AreaCalculator.calculateArea方法来计算它们的面积。

这种方法的好处是，它使用了GADT来保证类型安全，并且不需要使用模式匹配或其他方式来处理不同的形状类型。