要解决Adonis.js的API注册路由不起作用的问题，可以按照以下步骤进行检查和修复：

1. 确保路由文件正确导入：确保在start/routes.js文件中正确导入路由文件。例如：

const Route = use('Route')

// 导入路由文件
require('./routes/api')(Route)

2. 检查路由文件的导出方式：确保路由文件使用正确的导出方式。例如，使用module.exports导出路由函数。示例：

module.exports = (Route) => {
  // 在这里注册路由
  Route.get('/api/example', 'ExampleController.index')
}

3. 检查路由注册方法：确保正确使用Route对象注册路由。例如，使用Route.get()、Route.post()等方法注册路由。示例：

module.exports = (Route) => {
  Route.get('/api/example', 'ExampleController.index')
}

4. 检查控制器和方法是否存在：确保控制器和方法存在并正确命名。例如，检查ExampleController控制器是否存在，并且index方法是否正确命名。

5. 重新启动服务器：如果以上步骤都正确无误，尝试重新启动服务器以确保路由的更改生效。

如果问题仍然存在，可以进一步检查其他可能的问题，例如是否有其他路由与注册的路由冲突、是否有中间件阻止路由的执行等。