当使用API网关的自定义域名时，如果出现"ERR_NAME_NOT_RESOLVED"错误，说明域名无法解析到正确的IP地址。以下是解决此问题的可能方法：

1. 检查域名配置：确保域名已正确配置到API网关的自定义域名设置中。检查域名的DNS解析是否正确，包括A记录或CNAME记录是否指向正确的API网关终端节点。

2. 检查域名解析时间：当更改域名配置或添加新的自定义域名时，DNS解析可能需要一些时间来传播。等待一段时间，通常几分钟到几小时，以便域名解析生效。

3. 检查域名的DNS服务器：如果域名的DNS服务器配置不正确，可能导致域名无法解析。确保域名的DNS服务器设置正确，并且可以正常解析其他域名。

4. 检查网络配置：检查网络配置是否存在任何防火墙、代理或DNS设置，它们可能会干扰域名的解析。尝试禁用这些配置或通过其他网络连接进行测试。

下面是一个使用Node.js的示例代码，演示如何使用dns模块解析域名：

const dns = require('dns');

dns.resolve('your-domain.com', (err, addresses) => {
  if (err) {
    console.error(err);
    return;
  }

  console.log('IP addresses:', addresses);
});

以上代码使用dns.resolve方法解析域名，并打印出解析后的IP地址。如果能够成功解析域名，并且返回正确的IP地址，则说明域名解析配置正确。如果返回错误或者空数组，则需要检查域名配置和网络设置。