可以使用AWS Lambda函数来处理API网关和另一个账号中的后端的集成问题。Lambda可以用来编写自定义代码以与不同服务进行交互。

下面是一个简单的Python示例，它将API网关收到的请求传递到位于另一个帐户中的后端集群中：

import boto3
import json

def lambda_handler(event, context):
    # Create a client to call the remote backend cluster
    remote_client = boto3.client('my-service', region_name='us-east-1', 
                                 aws_access_key_id='ACCESS_KEY', 
                                 aws_secret_access_key='SECRET_KEY')

    # Pass the request from API Gateway to the remote client
    response = remote_client.some_operation(event['queryStringParameters'])

    return {
        'statusCode': 200,
        'body': json.dumps(response)
    }

在上面的示例中，我们使用boto3库创建了一个连接到另一个帐户中的远程集群的客户端。然后我们将API Gateway收到的请求传递给远程客户端，并将响应返回给调用方。在本例中，我们可以使用AWS IAM来分配必要的权限，并使用Lambda层来共享代码和库。