在API网关的Websocket服务中，每个连接都具有唯一的连接ID，因此可以根据该ID跟踪连接并对其进行管理。

下面是一个使用AWS SDK for JavaScript的示例代码，演示如何在JavaScript中获取连接ID：

var AWS = require('aws-sdk');
var apigatewaymanagementapi = new AWS.ApiGatewayManagementApi({endpoint: ''});

var params = {
  ConnectionId: ''
};

apigatewaymanagementapi.get_connection(params, function(err, data) {
  if (err) {
    console.log(err, err.stack);
  } else {
    console.log(data);
  }
});

在此示例中，可以看到我们使用get_connection方法从API Gateway中检索连接信息。其中ConnectionId参数为连接的唯一ID。请记住，在使用此方法之前，需要先进行身份验证并授权。

因此，可以看出API Gateway的Websocket连接的ID是唯一的。