要在应用在后台时，通过FCM显示通知消息并记录日志，可以使用以下解决方法：

1. 在Android项目中，创建一个名为MyFirebaseMessagingService的类，继承自FirebaseMessagingService。

import android.util.Log;

import com.google.firebase.messaging.FirebaseMessagingService;
import com.google.firebase.messaging.RemoteMessage;

public class MyFirebaseMessagingService extends FirebaseMessagingService {
    
    private static final String TAG = "FCM";

    @Override
    public void onMessageReceived(RemoteMessage remoteMessage) {
        // 处理接收到的消息
        if (remoteMessage.getNotification() != null) {
            String title = remoteMessage.getNotification().getTitle();
            String body = remoteMessage.getNotification().getBody();
            
            Log.d(TAG, "收到通知消息: " + title + " - " + body);
            
            // 在这里可以记录日志或执行其他操作
        }
    }
}

2. 在Android项目的AndroidManifest.xml文件中，注册MyFirebaseMessagingService。

3. 在Firebase控制台中，为您的应用启用FCM并配置通知。

4. 当您的应用在后台时，如果收到FCM通知，onMessageReceived方法会被调用。在这里，您可以处理通知消息，并记录日志或执行其他操作。

注意：为了在应用在后台时显示通知，您还需要在onMessageReceived方法中添加适当的代码来显示通知。请参考Android官方文档中关于如何显示通知的示例代码。