要解决Android 14 / SDK34上媒体投影服务持续要求用户权限的问题，你可以使用以下代码示例来请求权限：

首先，在AndroidManifest.xml文件中添加必要的权限：

然后，在需要使用媒体投影服务的Activity中，可以使用以下代码来请求权限：

private static final int REQUEST_MEDIA_PROJECTION = 1;
private MediaProjectionManager mMediaProjectionManager;

@Override
protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
    super.onCreate(savedInstanceState);
    setContentView(R.layout.activity_main);

    mMediaProjectionManager = (MediaProjectionManager) getSystemService(Context.MEDIA_PROJECTION_SERVICE);

    // 请求媒体投影权限
    requestMediaProjection();
}

private void requestMediaProjection() {
    if (android.os.Build.VERSION.SDK_INT >= android.os.Build.VERSION_CODES.LOLLIPOP) {
        Intent intent = mMediaProjectionManager.createScreenCaptureIntent();
        startActivityForResult(intent, REQUEST_MEDIA_PROJECTION);
    }
}

@Override
protected void onActivityResult(int requestCode, int resultCode, Intent data) {
    super.onActivityResult(requestCode, resultCode, data);

    if (requestCode == REQUEST_MEDIA_PROJECTION && resultCode == RESULT_OK) {
        // 权限已授予，可以开始使用媒体投影服务
        MediaProjection mediaProjection = mMediaProjectionManager.getMediaProjection(resultCode, data);
        if (mediaProjection != null) {
            // 在此处执行媒体投影操作
        }
    }
}

这样，当应用启动时，会自动请求媒体投影权限。在用户授予权限后，可以在onActivityResult方法中处理媒体投影服务操作。

请注意，上述代码示例仅适用于Android 5.0（API级别21）及更高版本。在较旧的Android版本上，可能需要使用其他方法来请求媒体投影权限。