在Android 11上，您可以使用后台限制来限制FCM消息的接收和处理。以下是一个示例解决方法，该方法在数据传输和屏幕关闭时有效：

1. 在AndroidManifest.xml文件中，添加以下权限和服务声明：

2. 创建一个继承自FirebaseMessagingService的自定义服务类（例如MyFirebaseMessagingService）：

import android.app.KeyguardManager;
import android.content.Context;
import android.os.PowerManager;
import android.util.Log;

import com.google.firebase.messaging.FirebaseMessagingService;
import com.google.firebase.messaging.RemoteMessage;

public class MyFirebaseMessagingService extends FirebaseMessagingService {

    @Override
    public void onMessageReceived(RemoteMessage remoteMessage) {
        // 检查数据传输和屏幕是否关闭
        if (isDataTransportActive() && isScreenOff()) {
            // 在这里处理您的FCM消息
            Log.d("FCM", "Received FCM message in background");
        }
    }

    private boolean isDataTransportActive() {
        // 检查当前网络是否可用
        // 这里可以使用ConnectivityManager来检查网络状态
        return true; // 替换为您自己的网络状态检查逻辑
    }

    private boolean isScreenOff() {
        // 检查屏幕是否关闭
        PowerManager powerManager = (PowerManager) getSystemService(Context.POWER_SERVICE);
        KeyguardManager keyguardManager = (KeyguardManager) getSystemService(Context.KEYGUARD_SERVICE);
        return !powerManager.isInteractive() || keyguardManager.isKeyguardLocked();
    }
}

请注意，isDataTransportActive()和isScreenOff()方法中的示例逻辑需要根据您的实际需求进行修改。

3. 在您的应用程序的build.gradle文件中，确保已添加了Firebase依赖：

implementation 'com.google.firebase:firebase-messaging:20.0.0'

这样，您就可以在Android 11背景下的FCM中只在数据传输且屏幕关闭时处理消息。