要在Android 10及以上版本上下载并保存PDF文件，需要请求存储权限。以下是一种解决方法，包含了相应的代码示例：

1. 在AndroidManifest.xml文件中添加存储权限声明：

2. 在Activity或Fragment中请求存储权限：

// 检查是否已经授予存储权限
if (ContextCompat.checkSelfPermission(this, Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE)
        != PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
    // 如果权限未授予，则请求权限
    ActivityCompat.requestPermissions(this,
            new String[]{Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE},
            1);
} else {
    // 如果权限已经授予，则执行下载操作
    downloadPDFFile();
}

3. 处理权限请求结果：

@Override
public void onRequestPermissionsResult(int requestCode, @NonNull String[] permissions,
        @NonNull int[] grantResults) {
    super.onRequestPermissionsResult(requestCode, permissions, grantResults);
    if (requestCode == 1) {
        if (grantResults.length > 0 && grantResults[0] == PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
            // 用户授予了存储权限
            downloadPDFFile();
        } else {
            // 用户拒绝了存储权限，可以给出相应的提示
            Toast.makeText(this, "需要存储权限才能下载文件", Toast.LENGTH_SHORT).show();
        }
    }
}

4. 执行下载操作：

private void downloadPDFFile() {
    // 使用DownloadManager下载PDF文件
    DownloadManager.Request request = new DownloadManager.Request(Uri.parse("PDF文件的URL"));
    request.setDestinationInExternalPublicDir(Environment.DIRECTORY_DOWNLOADS, "filename.pdf");
    request.setNotificationVisibility(DownloadManager.Request.VISIBILITY_VISIBLE_NOTIFY_COMPLETED);
    DownloadManager downloadManager = (DownloadManager) getSystemService(Context.DOWNLOAD_SERVICE);
    downloadManager.enqueue(request);
}

以上代码中，downloadPDFFile()方法使用DownloadManager来进行PDF文件的下载，将文件保存在下载目录下，并在下载完成后显示通知。

请注意，上述代码只处理了存储权限的请求和下载操作，实际应用中还需要处理其他相关的逻辑，例如检查网络连接、文件是否已存在等。