由于WebView不会自动处理类似AJAX或XMLHTTP的请求，需要在应用程序中自定义WebViewClient类来处理Cookie。下面是一个示例：

import android.webkit.CookieManager;
import android.webkit.WebResourceRequest;
import android.webkit.WebView;
import android.webkit.WebViewClient;

public class MyWebViewClient extends WebViewClient {

    @Override
    public void onPageFinished(WebView view, String url) {
        // 获取响应头中的Set-Cookie字段
        String cookies = CookieManager.getInstance().getCookie(url);
        if (cookies != null && !cookies.isEmpty()) {
            // 将Set-Cookie值添加到Webview的CookieManager中
            CookieManager.getInstance().setCookie(url, cookies);
        }
    }

    @Override
    public boolean shouldOverrideUrlLoading(WebView view, WebResourceRequest request) {
        // 判断请求是否需要带上Cookie
        if (request.getUrl().getHost().equals("example.com")) {
            // 获取请求头中Cookie字段
            String cookies = CookieManager.getInstance().getCookie(request.getUrl().toString());
            if (cookies != null && !cookies.isEmpty()) {
                // 将Cookie添加到请求头中
                request.getRequestHeaders().put("Cookie", cookies);
            }
        }

        return super.shouldOverrideUrlLoading(view, request);
    }
}

然后在WebView中设置自定义的WebViewClient类:

WebView webView = findViewById(R.id.web_view);
webView.setWebViewClient(new MyWebViewClient());

这样就可以在WebView中正确处理Cookie了。