首先，需要了解一下Laravel 9的新特性，它的认证（auth）系统已经进行了重写，现在使用AJAX来进行认证，这意味着我们需要相应地更改我们的代码来实现这些变化。

对于register()函数的问题，它已经被重命名为create()，现在负责处理新用户的创建。接下来的示例代码将展示如何实现这个更改：

首先，我们需要在我们的routes/web.php文件中创建一个新的路由来处理用户注册：

Route::post('/register', 'RegisterController@create')->name('register');

然后，我们需要在app/Http/Controllers/Auth目录下创建一个新的控制器RegisterController.php

namespace App\Http\Controllers\Auth;
use App\Http\Controllers\Controller;
use Illuminate\Http\Request;
use Illuminate\Support\Facades\Validator;
use Illuminate\Validation\Rule;
use App\Models\User;
use Illuminate\Auth\Events\Registered;

class RegisterController extends Controller
{
    public function create(Request $request)
    {
        $validator = Validator::make($request->all(), [
            'name' => ['required', 'string', 'max:255'],
            'email' => ['required', 'string', 'email', 'max:255', Rule::unique('users')],
            'password' => ['required', 'string', 'min:8', 'confirmed'],
        ]);

        if ($validator->fails()) {
            return response()->json([
                'status' => 'error',
                'message' => $validator->errors()->first(),
            ], 422);
        }

        event(new Registered($user = User::create([
            'name' => $request->name,
            'email' => $request->email,
            'password' => bcrypt($request->password),
        ])));

        return response()->json([
            'status' => 'success',
            'message' => 'User registered successfully.',
        ]);
    }
}

最后，在我们的视图文件中，我们将通过AJAX来提交注册表单的数据：

$('#registerForm').submit(function(e) {
    e.preventDefault();
    var form = $(this);

    $.ajax({
        url: form.attr('action'),
        type: 'post',
        dataType: 'json',
        data: form.serialize(),
        success: function(response) {
            if (response.status == 'success') {
                // Show success message
            } else {
                // Show error message
            }