要解决AWS Fargate集群无法通过已配置的NAT和Internet Gateways访问互联网的问题，可以按照以下步骤进行操作：

1. 确保Fargate集群的子网配置正确，并已经关联了正确的路由表。确保路由表中包含到Internet Gateway的路由。

2. 检查Fargate任务的安全组配置。确保安全组允许出站流量，并确保没有任何入站流量限制。

以下是通过AWS CLI命令解决该问题的示例代码：

1. 检查路由表配置：

aws ec2 describe-route-tables --filters "Name=tag:Name,Values="

确保返回结果中包含到Internet Gateway的路由。

2. 检查安全组配置：

aws ec2 describe-security-groups --filters "Name=tag:Name,Values="

确保返回结果中没有任何入站流量限制，并且有允许出站流量的规则。

如果以上步骤仍无法解决问题，可以尝试以下进一步的排查方法：

1. 检查VPC的网络ACL配置，确保没有任何出站流量限制。

2. 检查NAT网关的配置，确保它正确地关联了公有子网，并已经分配了Elastic IP。

3. 检查Fargate任务的网络配置，确保它正确地关联了公有子网。

如果问题仍然存在，请考虑联系AWS支持团队以获得进一步的帮助和调试。