当AJAX对远程Tomcat的POST请求返回415错误时，这意味着服务器不支持请求中的媒体类型。这可能是由于以下几个原因导致的：

1. 请求的Content-Type头部与服务器期望的Content-Type头部不匹配。
2. 请求的数据格式不受服务器支持。
3. 服务器未正确配置以处理该类型的请求。

下面是一些可能的解决方法：

1. 确保请求的Content-Type头部与服务器期望的Content-Type头部匹配。例如，如果服务器期望的Content-Type为application/json，确保请求的Content-Type为application/json。

$.ajax({
  url: "http://remote-server-url",
  type: "POST",
  data: JSON.stringify({}),
  contentType: "application/json",
  success: function(response) {
    // 请求成功处理逻辑
  },
  error: function(xhr, textStatus, errorThrown) {
    // 请求失败处理逻辑
  }
});

2. 检查请求的数据格式是否受服务器支持。例如，如果服务器期望的是一个JSON对象，确保请求的数据为有效的JSON字符串。

$.ajax({
  url: "http://remote-server-url",
  type: "POST",
  data: '{"key": "value"}',
  contentType: "application/json",
  success: function(response) {
    // 请求成功处理逻辑
  },
  error: function(xhr, textStatus, errorThrown) {
    // 请求失败处理逻辑
  }
});

3. 检查服务器是否正确配置以处理该类型的请求。在Tomcat的web.xml配置文件中，确保包含正确的servlet配置。

  MyServlet
  com.example.MyServlet


  MyServlet
  /my-servlet

确保服务器端的代码正确处理来自AJAX请求的数据，并返回正确的响应。

这些解决方法应该能够帮助您解决AJAX对远程Tomcat的POST请求返回415错误的问题。