在Rails应用中，如果需要在AJAX调用中处理逻辑但不渲染视图，可以使用respond_to和respond_with方法。

下面是一个示例代码：

在控制器中，定义一个处理AJAX请求的方法：

class UsersController < ApplicationController
  def update
    @user = User.find(params[:id])

    respond_to do |format|
      if @user.update(user_params)
        format.json { render json: { status: 'success' } }
      else
        format.json { render json: { status: 'error', errors: @user.errors.full_messages } }
      end
    end
  end

  private

  def user_params
    params.require(:user).permit(:name, :email)
  end
end

在视图文件中，使用form_for生成一个提交表单的AJAX请求：

<%= form_for @user, url: user_path(@user), remote: true do |f| %>
  <%= f.text_field :name %>
  <%= f.text_field :email %>
  <%= f.submit 'Save', class: 'btn btn-primary' %>
<% end %>

这样，当表单提交时，会通过AJAX调用update方法进行处理。如果更新成功，会返回{ status: 'success' }的JSON响应；如果更新失败，会返回{ status: 'error', errors: ['error message'] }的JSON响应。

在前端，可以使用JavaScript处理AJAX响应，例如：

$(function() {
  $('form').on('ajax:success', function(event, data, status, xhr) {
    if (data.status === 'success') {
      alert('Update successful');
      // 更新成功后的处理逻辑
    } else {
      alert('Update failed: ' + data.errors.join(', '));
      // 更新失败后的处理逻辑
    }
  });
});

这样，根据后端返回的JSON响应，可以在前端进行相应的处理。