使用AJAX进行请求时，可以通过服务器返回的状态码来判断请求的成功或失败，并获取相关的错误信息。

以下是一个使用jQuery的示例代码：

$.ajax({
  url: "example.com/api",
  method: "POST",
  data: { name: "John", age: 30 },
  success: function(response) {
    // 请求成功的处理逻辑
    console.log(response);
  },
  error: function(xhr, textStatus, errorThrown) {
    // 请求失败的处理逻辑
    console.log(xhr.status);
    console.log(xhr.responseText);
    console.log(textStatus);
  }
});

在上面的代码中，success回调函数用于处理请求成功时的逻辑，error回调函数用于处理请求失败时的逻辑。

如果请求成功，success回调函数会接收到服务器返回的数据作为参数，你可以在其中进行相应的处理。

如果请求失败，error回调函数会接收到三个参数：xhr、textStatus和errorThrown。其中，xhr对象包含了服务器返回的状态码和错误信息。你可以通过xhr.status获取状态码，通过xhr.responseText获取详细的错误信息。

除了使用jQuery，你也可以使用其他的JavaScript库或原生的XMLHttpRequest对象来发送AJAX请求，并根据返回的状态码和错误信息进行处理。