要解决AJAX异步行为不会等待chrome.storage.sync.get函数的问题，可以使用Promise对象和async/await函数来处理。下面是一个代码示例：

function getDataFromStorage() {
  return new Promise((resolve, reject) => {
    chrome.storage.sync.get(['key'], (result) => {
      if (chrome.runtime.lastError) {
        reject(chrome.runtime.lastError);
      } else {
        resolve(result.key);
      }
    });
  });
}

async function fetchData() {
  try {
    const data = await getDataFromStorage();
    // 在此处执行你的AJAX请求
    console.log(data);
  } catch (error) {
    console.error(error);
  }
}

fetchData();

在上面的示例中，getDataFromStorage函数返回一个Promise对象，该对象在chrome.storage.sync.get函数的回调函数中被解析。使用async/await语法，fetchData函数可以在等待getDataFromStorage函数返回结果时暂停执行。一旦getDataFromStorage函数返回结果，就可以继续执行AJAX请求。如果getDataFromStorage函数发生错误，错误将被捕获并打印出来。

请注意，在使用这种方法时，确保在调用fetchData函数之前先加载了Chrome扩展的chrome.storage权限。