要解决AJAX POST请求抛出415不支持的媒体类型错误，并且错误信息为“请求必须有'Content-Type: application/vnd.api+json'”，你可以按照以下步骤进行操作：

1. 确保你的AJAX请求中设置了正确的Content-Type头部。根据错误信息，你需要将Content-Type设置为'application/vnd.api+json'。

2. 如果你使用的是jQuery，可以使用$.ajax()方法来发送POST请求，并设置contentType选项为'application/vnd.api+json'。

$.ajax({
  url: 'your-url',
  type: 'POST',
  data: yourData,
  contentType: 'application/vnd.api+json',
  success: function(response) {
    // 请求成功的处理逻辑
  },
  error: function(xhr, status, error) {
    // 错误处理逻辑
  }
});

3. 如果你使用的是原生JavaScript，可以使用XMLHttpRequest对象来发送POST请求，并设置Request Header中的Content-Type为'application/vnd.api+json'。

var xhr = new XMLHttpRequest();
xhr.open('POST', 'your-url', true);
xhr.setRequestHeader('Content-Type', 'application/vnd.api+json');
xhr.onreadystatechange = function() {
  if (xhr.readyState === 4 && xhr.status === 200) {
    // 请求成功的处理逻辑
  } else {
    // 错误处理逻辑
  }
};
xhr.send(yourData);

请注意，上述代码中的'your-url'和'yourData'需要根据你的实际情况进行替换。另外，确保服务器端能够正确处理Content-Type为'application/vnd.api+json'的请求。